好吧问答库 > 0<a<b,a+b=1.比较a,1⼀2.a.b.2ab.a^2+b^2的大小，要详细过程。

0<a<b,a+b=1.比较a,1⼀2.a.b.2ab.a^2+b^2的大小，要详细过程。

2026年09月27日 01:07

有2个网友回答

网友（1）：

1、∵a+b≥2√ab
∴1/(a+b)≤1/2√ab
所以2ab/(a+b)≤2ab/2√ab=√ab
2、对原式两边平方：
(a^2+b^2)/2≥(a^2+2ab+b^2)/4
移项：(a^2-2ab+b^2)/4≥0
(a-b)^2/4≥0
显然成立
以上各步均可逆所以√a^2+b^2\2>=a+b/2

网友（2）：

均值不等式
：
2/(1/a+1/b)≤√(ab)≤(a+b)/2≤√((a²+b²)/2)
(当且仅当a=b时取等号)
解：由√(ab)≤(a+b)/2≤√((a²+b²)/2)有(先平方再乘2)
2ab＜1/2＜a²+b²，
∵0＜a＜b，a+b=1，
∴0＜a＜1/2＜b，
讨论2ab与a的关系：
∵2b＞1，a＞0，
∴2ab＞a；
讨论a²+b²与b的关系：
a²+b²=a²+(1-a)²=2a²-2a+1，
b=1-a，
∴a²+b²-b=2a²-a=2a(a-1/2)＜0，
∴a²+b²＜b，
综上a＜2ab＜1/2＜a²+b²＜b。