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求当x趋近于a时，(sin x - sin a) ⼀ (x - a)的极限

2026年09月17日 10:24

有2个网友回答

网友（1）：

x→a,sinx-sina→0，sin(x-a)→0，故满足洛必达法则
x→a,(sinx-sina)'/[sin(x-a)]'=cosx/cos(x-a)→cosa
故极限为cosa
注明：
满足洛必达法则的条件：
分子分母同时趋于0或趋于无穷
其实导数的定义可知,这个极限就是y=sinx函数在x=a出的导数，故y'=(sinx)'=cosx,当x=a,y'=cosa

网友（2）：

方法一：利用洛必达法则
lim
[(sin
x
-
sin
a)/(x
-
a)]
x→a
=lim
[(sin
x
-
sin
a)′/(x
-
a)′]
x→a
=lim
cosx
x→a
=cosa
方法二：先用和差化积公式，后用等价无穷小代换
lim
[(sin
x
-
sin
a)/(x
-
a)]
x→a
=lim
{2cos[(x+a)/2]·sin[(x-a)/2]/(x
-
a)}
x→a
=lim
{2cos[(x+a)/2]·[(x-a)/2]/(x
-
a)}
x→a
=lim
cos[(x+a)/2]
x→a
=cosa