已知函数f（x）=ax2-4ln（x-1），a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f

（1）当a=1时，f（x）=x²-4ln（x-1），x∈（1，+∞），
∴f（x）=2x-

4

x?1

=

2x2?2x?4

x?1

=

2(x+1)(x?2)

x?1

，
令f′（x）=0，解得：x=2，
∴a=1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．
（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，
∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，
即

f(m)?1

m?1

＜0，f（m）＜1，
即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，
f（x）=

2(ax2?ax?2)

x?1

，x∈（1，+∞），
令g（x）=aa²-ax-2
①当a=0时，f（x）=-4ln（x-1）在[2，e+1]上单调递减，
f（x）_max=f（2）=0＜1，显然成立，
∴a=0．
②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，
且g（0）=-2，g（1）=-2，
?x∈（1，+∞），g（x）＜0，
故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=4a＜0，显然成立，
∴a＜0．
（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，
且g（0）=-2，g（1）=-2．
所以?x₀∈（1，+∞），当x∈（1，x₀）时，g（x）＜0． 当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0；
所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．
故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．
∴

f(2)＜1 f(e+1)＜1

，即：

4a＜1 a(e+1)2?4＜1

，
∴0＜a＜

1

4

．
综上：a＜

1

4

．