记数列{an}的前n项和为Sn，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．（1）若{an}是等差数列，项数n为

（1）若数列{a_n}项数n为偶数，由已知，得S″-S′＝15＝

3

2

?

n

2

，（2分）
解得n=20，（1分）
Sn＝1×20+

20×19

2

×

3

2

＝305．（1分）
（2）假设数列{a_n}项数n为偶数，S″-S′＝

n

2

?d＞0与S″-S′=-9矛盾．故数列{a_n}项数n不为偶数，（1分）
设数列{a_n}项数n=2k+1（k∈N），
则S′＝a1+a3+…+a2k+1＝

a1+a2k+1

2

?(k+1)
∵a₁+a_2k+1=a₂+a_2k，
∴

S′

S″

＝

k+1

k

＝

36

27

，
解得k=3，项数n=2×3+1=7，（2分）
∵S7＝S′+S″＝63＝7a1+

7×6

2

?d，
∴a₁+3d=9，
∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
当d=1时，a₁=6，此时，a_n=6+（n-1）?1=n+5，
所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．（2分）
当d=2时，a₁=3，此时，a_n=3+（n-1）?2=2n+1
所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．（2分）
（3）在2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）中，令n=1，得a2＝

3(t?1)

2t

．
∵2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）①
可得2tS_n-3（t-1）S_n-1=2t（n∈N^*，n＞1）②
①减去②得：

an+1

an

＝

3(t?1)

2t

，且

a2

a1

＝

3(t?1)

2t

．（2分）
∵

3

5

＜t＜3，
∴0＜|

3(t?1)

2t

|＜1．（当t=1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）
所以，{a_n}是首项a₁=1，公比q＝

3(t?1)

2t

的等比数列，且公比0＜|q|＜1．（2分）
设项数n=3，∵S′?S″＝