为什么函数有界一定有上界和下界？

2026年09月23日 13:02

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网友（1）：

必要性：

已知f(x)在X上有界，则存在M>0，使得任意x∈X，有|f(x)|

因此-M

充分性：

已知f(x)在X上既有上界又有下界，则存在a,b，且b>a，使得f(x)a

（1）若|b|>|a|，则b>0，且-b

因此-b

（2）若|a|>|b|，则a<0，因此-a>0，得-a>b，

因此a

扩展资料

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。