∫（0-2π）sinθsin（θ＋ωτ）dθ

2026年09月24日 06:20

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解：
∫[0：2π]sinθsin(θ+ωt)dθ
=½∫[0：2π][cos(θ-θ-ωt)-cos(θ+θ+ωt)]dθ
=½∫[0：2π][cos(ωt)-cos(2θ+ωt)]dθ
=½∫[0：2π]cos(ωt)dθ-¼∫[0：2π]cos(2θ+ωt)]d(2θ+ωt)
=½cos(ωt)·θ|[0：2π]-¼sin(2θ+ωt)|[0：2π]
=½cos(ωt)·(2π-0)-¼[sin(4π+ωt)-sin(0+ωt)]
=π·cos(ωt)-¼[sin(ωt)-sin(ωt)]
=π·cos(ωt)-0
=π·cos(ωt)
解题说明：
1、水平书写定积分的格式：∫[a：b]f(x)dx，下界在前，上界在后。
2、先运用积化和差公式，将积分项由乘积转为和差的形式，以便下一步分别积分。
3、用到的积化和差公式：
sinαsinβ=½[cos(α-β)-cos(α+β)]