数学专业考研试题

题目写错了，如果只是四项求和结论不可能对的。
正确的叙述是
lim{n->oo} int[0,pi/2] f(x)*(1/2+cosx+cos2x+...+cosnx)dx = pi/2*f(0)

首先，常数函数代进去当然是对的，逐项积分求和后再求极限。

对于一般的f，先要把求和求出来
1/2+cosx+cos2x+...+cosnx = sin[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)]
只要证明出
lim{n->oo} int[0,pi/2] [f(x)-f(0)]*sin[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)]dx = 0
就行了。事实上
[f(x)-f(0)]*sin[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)] = [f(x)-f(0)]/x * x/[2sin(x/2)] * sin[(2n+1)x/2]
而利用f在0点可微知[f(x)-f(0)]/x * x/[2sin(x/2)]是连续函数，由Riemann引理知结论成立。

sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)称为Dirichlet核，这部分如果不熟的话去复习一下Fourier级数。

我试试吧，mark下