导数的应用 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是A.f(0)<0 B.f(1)>0 C.f(1)>f(0) D.f(1)0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0，1)上是A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0， )上是减函数，在( ,1)上是增函数D.在(0， )上是增函数，在( ,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解：y′=lnx+1,当y′>0时，解得x> .又x∈(0,1),∴ 0 D.b< 分析：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解：对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.因为函数在(0，1)内有极小值，所以极值点在(0，1)上.令y′=3x2－3b=0,得x2=b,显然b>0, ∴x=± .又∵x∈(0,1), ∴0< <1.∴00,所以x=1.在(0, +∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在(0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.答案：A7.若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)>0,又f(a)<0,则A.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)>0B.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)<0C.f(x)在［a,b］上单调递减，且f(b)<0D.f(x)在［a,b］上单调递增，但f(b)的符号无法判断分析：本题主要考查函数的导数与单调性的关系.解：若函数f(x)在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)>0,则函数在［a,b］内为增函数.∵f(a)<0, ∴f(b)可正可负,也可为零，即f(b)的符号无法判断.答案：D8.已知y= sin2x+sinx+3,那么y′是A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数分析：本题主要考查导函数的性质.解：y′=( sin2x)′+(sinx)′= (cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.不妨设f(x)=cos2x+cosx，∵f(－x)=cos(－2x)+cos(－x)=cos2x+cosx=f(x), ∴y′为偶函数.又由于y′=2cos2x－1+cosx=2cos2x+cosx－1,令t=cosx(－1≤t≤1),∴y′=2t2+t－1=2(t+ )2－ . ∴y′max=2, y′min=－ .故选B.答案：B9.函数y=ax3－x在(－∞,+∞)上是减函数，则A.a= B.a=1 C.a=2 D.a<0分析：本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法——验证法.解:由y′=3ax2－1,当a= 时，y′=x2－1,如果x>1,则y′>0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a<0时，y′=3ax2－1恒小于0，则原函数在(－∞,+∞)上是减函数.故选D.答案：D10.已知抛物线y2=2px(p>0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为A.(0,0) B.( ,p) C.( ) D.( )分析:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.解:设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有d2=(p－x)2+(p－y)2=(p－ )2+(p－y)2.∴(d2)′=2(p－ )(－ )+2(p－y)(－1)= －2p.令(d2)′y=0,即 －2p=0,解得y= p.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得 .所以点( )为所求的点.答案:D第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.函数y=sin2x的单调递减区间是__________.分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解法一：y′=2sinxcosx=sin2x. 令y′<0,即sin2x<0，∴2kπ－π<2x<2kπ,k∈Z. ∴kπ－ 0且g(－3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数 (x)=f(x)g(x),利用 (x)的性质解决问题.解:设 (x)=f(x)g(x),则 ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.∴ (x)在(－∞,0)上是增函数且 (－3)=0.又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴ (x)=f(x)g(x)为奇函数.∴ (x)在(0,+∞)上也是增函数且 (3)=0.当x<－3时, (x)< (－3)=0,即f(x)g(x)<0;当－3 (－3)=0,即f(x)g(x)>0.同理,当03时,f(x)g(x)>0.∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).答案:(－∞,－3)∪(0,3)13.有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：设场地的长为x m，则宽为(8－x) m,有S=x(8－x)=－x2+8x,x∈(0,8).令S′=－2x+8=0,得x=4.∵S在(0,8)上只有一个极值点, ∴它必是最值点,即Smax=16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案：1614.过曲线y=lnx上的点P的切线平行于直线y= x+2,则点P的坐标是__________.分析：本题考查导数的几何意义.本题可采取逆向思维,构造关于切点横坐标的方程.解：因直线y= x+2的斜率为k= , 又因y=lnx,所以y′= = .所以x=2.将x=2代入曲线y=lnx的方程，得y=ln2. 所以点P的坐标是(2，ln2).答案：(2,ln2)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，因此新墙总长度L=2x+ (x>0), 4分L′=2－ .令L′=2－ =0,得x=16或x=－16. 6分∵x>0,∴x=16. 7分∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴ =32. 9分故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 10分注：本题也可利用均值不等式求解.16.(本小题12分)已知函数y=ax与y=－ 在区间(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=－ 的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解：∵函数y=ax与y=－ 在区间(0，+∞)上是减函数，∴a<0,b<0. 3分由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx. 6分令y′>0，即3ax2+2bx>0,∴－ 0. 10分因此当x∈(－∞,－ )时，函数为减函数;x∈(0,+∞)时，函数也为减函数. 12分17.(本小题10分)当x>0时，求证：ex>x+1.分析：本题考查利用导数证明不等式的问题.解题的关键是由导数确定单调区间，由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解.证明：不妨设f(x)=ex－x－1, 3分则f′(x)=(ex)′－(x)′=ex－1. 6分∵x>0,∴ex>1,ex－1>0.∴f′(x)>0,即f(x)在(0，+∞)上是增函数. 8分∴f(x)>f(0),即ex－x－1>e0－1=0.∴ex>x+1. 10分18.(本小题10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(00,从而f(t)在区间(0, )上是增函数; 8分当
