求解该不定积分

令t^2=x^3+1，则2tdt=3x^2*dx
有dx=2tdt/3/x^2
x^2=(t^2-1)^(2/3)
原式=t*2tdt/3*(t^2-1)^(-2/3)

看看MATLAB的计算结果：
>> syms x
>> int(sqrt(1+x^3))

ans =

(2*x*(x^3 + 1)^(1/2))/5 + (6*((3^(1/2)*1i)/2 + 3/2)*((x + (3^(1/2)*1i)/2 - 1/2)/((3^(1/2)*1i)/2 - 3/2))^(1/2)*((x + 1)/((3^(1/2)*1i)/2 + 3/2))^(1/2)*((1/2 + (3^(1/2)*1i)/2 - x)/((3^(1/2)*1i)/2 + 3/2))^(1/2)*ellipticF(asin(((x + 1)/((3^(1/2)*1i)/2 + 3/2))^(1/2)), -((3^(1/2)*1i)/2 + 3/2)/((3^(1/2)*1i)/2 - 3/2)))/(5*(x^3 + (- (- 1/2 + (3^(1/2)*1i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*1i)/2) - 1)*x - (- 1/2 + (3^(1/2)*1i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*1i)/2))^(1/2))

>> simplify(ans)

ans =

(2*x*(x^3 + 1)^(1/2))/5 + ((-(- 3 + 3^(1/2)*1i)*(x + 1))^(1/2)*ellipticF(asin((6^(1/2)*(-(- 3 + 3^(1/2)*1i)*(x + 1))^(1/2))/6), (3^(1/2)*1i)/2 + 1/2)*((2^(1/2)*1i)/20 + 6^(1/2)/20)*(3 + 3^(1/2)*x*1i + 3^(1/2)*1i - 3*x)^(1/2)*(3 - 3^(1/2)*x*1i - 3^(1/2)*1i - 3*x)^(1/2))/(x^3 + 1)^(1/2)
表明没有初等解析解。上式中的1i是虚数单位i，ellipticF是椭圆函数。

计算不定积分，首先要把握原函数与不定积分的概念，基本积分法只要 熟记常见不定积分的原函数即可。 注意把握三种不定积分的计算方法： 直接积分法 2.换元积分法（其中有两种方法） 3.分部积分法。

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