斜齿轮螺旋角和齿根弯曲应力的关系

1. 两个基本关系式

1.1 端面/法向压力角关系式

图1：端面/法向压力角的关系 （网络图片）
tan(\alpha _n)=\frac{AC}{CC'} ； tan(\alpha _t)=\frac{AB}{BB'} , 且有： cos(\beta)=\frac{AC}{AB} , BB'=CC' \Rightarrow tan(\alpha _t)=\frac{AC}{CC' *cos(\beta)}
故法向压力角，端面压力角和分度圆螺旋角之间的关系： tan(\alpha _n)=tan(\alpha _t) *cos(\beta) （基本式1）
1.2 分度圆/基圆螺旋角关系式

图2：分度圆/基圆螺旋角，导程角 （ISO 21771：2007）
tan(\beta)=\frac{d\pi}{P_z} ； tan(\beta_b)=\frac{d_b\pi}{P_z} ；且知： d_b=d*cos(\alpha_t)

\frac{tan(\beta)}{tan(\beta_b)}=\frac{d}{d_b}=\frac{1}{cos(\alpha_t)}

故基圆压力角和分度圆螺旋角之间的关系： tan(\beta_b)=tan(\beta)*cos(\alpha_t) （基本式2）
支持，我们根据圆柱斜齿轮的几何关系推导出了两个基本关系式：

基本式1：tan(\alpha _n)=tan(\alpha _t) *cos(\beta) (截面压力角 > 法向螺旋角)
基本式2：tan(\beta_b)=tan(\beta)*cos(\alpha_t) (分度圆螺旋角 > 基圆螺旋角)
由基本式1，得： \frac{sin \alpha_n}{cos \alpha_n}=\frac{sin \alpha_t}{cos \alpha_t}*cos\beta\Rightarrow sin \alpha_n = sin \alpha_t \frac{cos \alpha_n *cos\beta}{cos \alpha_t}
由基本式2，得： \frac{sin \beta_b}{cos \beta_b}=\frac{sin \beta}{cos \beta}*cos\alpha_t\Rightarrow sin \beta_b = sin\beta \frac{cos \alpha_t *cos\beta_b}{cos \beta}
接下来转化为证明：
\frac{cos \alpha_n *cos\beta}{cos \alpha_t}={cos \beta_b} ；\frac{cos \alpha_t *cos\beta_b}{cos \beta}={cos\alpha_n}
\Rightarrow即证明： {cos \alpha_t *cos\beta_b}={cos\alpha_n}*{cos \beta}
2. 端面/法向压力角，分度圆/基圆螺旋角 三角函数关系

2.1 tan(\alpha _n) 和 tan(\alpha _t) 的关系： tan(\alpha _n)=tan(\alpha _t) *cos(\beta) …… 基本关系式

2.2 tan(\beta_b) 和 tan(\beta) 的关系：tan(\beta_b)=tan(\beta)*cos(\alpha_t) ……基本关系式

2.3 sin(\alpha_n) 和 sin(\alpha_t) 的关系： sin(\alpha_n)=sin(\alpha_t)*cos(\beta_b) ……诱导关系式

2.4 sin(\beta) 和 sin(\beta_b) 的关系： sin(\beta_b)=sin(\beta)*cos(\alpha_n) ……诱导关系式

显然有：
\alpha _t > \alpha _n ； \beta >\beta_b
参考：
ISO 21771：2007
圆柱齿轮几何计算原理及实用算法

这个关系是螺旋角越大，齿根乘受的弯曲应力也随之增大。

与扭矩、螺旋角、模数、齿数、齿宽有关。可以从弯曲应力公式分析得到