设出圆心坐标,因为和在圆上,所以利用两点间的距离公式表示出两点到设出圆心的距离,并让其相等列出关于与的方程,记作,然后根据圆的切线垂直于过切点的直径,根据两直线垂直时斜率的乘积为,由已知直线的斜率求出直径所在直线的斜率,根据切点坐标和求出的斜率写出直径所在直线的方程,把圆心坐标代入又得到关于与的方程,记作,联立,即可求出与的值得到圆心坐标,然后利用两点间的距离公式求出圆心到(,之间的距离即为圆的半径,根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可.
解:设圆心坐标为,因为点,点都是圆上的点,
所以圆心与这两个点的距离相等,即,
化简得:,
又因为圆与直线切于,所以直径所在直线的斜率为,
所以经过的圆直径所在直线的方程为,
由于圆心在此直线方程上,代入得:,
联立,解得,,即圆心坐标为,
则圆的半径,
所以圆的标准方程为:.
此题考查学生掌握切线的性质,灵活运用两点间的距离公式化简求值,掌握两直线垂直时斜率满足的关系,会根据圆心与半径写出圆的标准方程,是一道综合题.
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