空间向量法证明空间中的平行关系

使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出
解题步骤：

第一步 建立适当的空间直角坐标系；
第二步 分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；
第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.
【例】 如图所示，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点.

求证： 平面 .

【证明】如图所示，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为 ，则可得 ， ， ， ， ．

于是 ， ， 。

设平面 的法向量是 ，

则 ，且

可得 。

取 ，得 ， ，

所以

又 ，，

所以 ，

又因为 平面 ，所以 平面 .

【总结】用向量证明线面平行的方法有：
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；
(4)本题易错点为：只证明 ，而忽视 平面 .