易知
"an+1"
=
根号(a+
“an")
下面证明数列是递增的:
只要证明:根号(a+
“an")
>
“an"
即:an平方
-an
-
a
<0
求根得
1/2(√(1+an)
+1)
当an<
1/2(√(1+an)
+1)
时，显然
an^2
-an
-
a
<
0
从而
"an+1"
>
an
然后证明其有界:
当an<
1/2(√(1+an)
+1)时，
"an+1"
=
根号(a+
“an")
<根号(a+
1/2(√(1+an)
+1))
=1/2(√(1+an)
+1)
所以
an有上界1/2(√(1+an)
+1)
根据单调有界定理知，an收敛。
设极限为A
对"an+1"
=
根号(a+
“an")
两边取n趋于无穷
得
A=
根号(a+A)
解得A=1/2(√(1+an)
+1)
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