好吧问答库 > 有一个矩形两条对角线的夹角为45°,设对角线的一半为a,求这个矩形的面积与周长

有一个矩形两条对角线的夹角为45°,设对角线的一半为a,求这个矩形的面积与周长

2026年09月23日 20:17

有1个网友回答

网友（1）：

解：
根据已知，设对角线的夹角为45°所对应的边为宽，则另外一个夹角为180-45=135°，所对应的边为长
根据余弦定理有，
宽^2=a^2+a^2-2a*a*COS45°=2a^2-2*a^2*√2/2=(2-√2)a^2
长^2=a^2+a^2-2a*a*COS135°=2a^2+2*a^2*√2/2=(2+√2)a^2
（长*宽）^2=(2-√2)a^2*(2+√2)a^2=2a^4
则面积=√2*a^2
周长^2=(长+宽）^2=长^2+宽^2+2长*宽
=(2+√2)a^2+(2-√2)a^2+2*√2*a^2
=4a^2+2√2*a^2
周长=2a√(1+√2/2)
周长=