正九边形ABCDEFGHI中,其中AE=1,求AB+AC

题目：正九边形ABCDEFGHI中，AE=2，那么AB+AC的长是多少？
2012-3-5
11:01
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本题考查的是正多边形和圆及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．先由多边形的内角和定理，求出正九边形内角的度数，由圆周角定理可求出∠CAB=20°，连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N，再求出△AHM中各角的度数，由正方形的性质及直角三角形的性质即可解答．
解：∵正九边形内角和为（9-2）×180°=1260°，
∴每个内角为140°，
又∵AB=AC，∠B=140°，
∴∠CAB=（180°-140°）÷2=20°，
连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N．
∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°．
∴∠HAM=140°-2×20°-40°=60°，
∴∠AHM=30°，
设AM=EN=x，MN=y，
四边形HGNM是矩形，所以HG=y，即正九边形边长为y，
在Rt△AHM中，∠AHM=∠30°，
∴AH=2AM=2x，
∴AB+AC=y+2x，
而x+y+x=2，
∴2x+y=2，
∴AB+AC=2．

∵正九边形内角和为（9-2）×180°=1260°，
∴每个内角为140°，
又∵ab=bc，∠b=140°，
∴∠cab=（180°-140°）÷2=20°，
连接ah，作hm，gn分别垂直ae于m，n．
∵∠cae=2∠cab=2×20°=40°．
∴∠ham=140°-2×20°-40°=60°，
∴∠ahm=30°，
设am=en=x，mn=y，
四边形hgnm是矩形，所以hg=y，即正九边形边长为y，
在rt△ahm中，∠ahm=30°，
∴ac=ah=2am=2x，
∴ab+ac=y+2x，
∵ae=am+mn+en=2x+y，
∴ae=ab+ac=3．
故答案为：3．