好吧问答库 > 已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证： a 2 a+1 + b 2 b+1 ≥1

已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证： a 2 a+1 + b 2 b+1 ≥1

已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：a2a+1+b2b+1≥1．...

2026年09月25日 15:43

有1个网友回答

网友（1）：

证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a
2
（b+1）+b
2
（a+1）≥（a+1）（b+1），
即
a
2
b+a
2
+ab
2
+b
2
≥ab+a+b+1．
等价于 a
2
+b
2
+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明
a
2
+b
2
+ab=（a+b）
2
=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2
ab
，可得ab≤1成立，所以原不等式成立． …（12分）
另证：因为a，b都是正实数，所以
a
2
a+1
+
a+1
4
≥a，
b
2
b+1
+
b+1
4
≥b． …（6分）
两式相加得
a
2
a+1
+
a+1
4
+
b
2
b+1
+
b+1
4
≥a+b，…（8分）
因为
a+b=2，所以
a
2
a+1
+
b
2
b+1
≥1
． …（12分）