高数，其次方程，3

整理原方程得到：
[1+2(y/x)-(y/x)²]=[1-2(y/x)-(y/x)²](dy/dx)
令u=y/x，即y=ux，那么根据积的求导法则：dy/dx=x(du/dx)+u。代入上述方程得到：
(1+2u-u²)=(1-2u-u²)[x(du/dx)+u]
分离变量得到：
dx/x=(1-2u-u²)du/(u³+u²+u+1)
=(1-2u-u²)du/[(u²+1)(u+1)]
=｛[(Au+B)/(u²+1)]+[C/(u+1)]｝du…………其中A、B、C为常数
根据通分结果计算A、B、C：
常数项：C+B=1
u的系数：A+B=-2
u²的系数：A+C=-1
解得：A=-2，B=0，C=1
所以有：dx/x=[-2udu/(u²+1)]+[du/(u+1)]
两边积分得到：ln|x|+D=-ln|u²+1|+ln|u+1|………………D为任意常数
两边同时作自然对数底e的指数，消去对数函数得到：
Kx=(u+1)/(u²+1)………………K=±e^D，亦为任意常数
代入u=y/x整理得到通解：
K=(y+x)/(y²+x²)
代入初始条件解得：K=2/2=1。所以对应特解：
x²+y²=x+y