好吧问答库 > 若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n)．（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；（Ⅱ）求S1，S2，S3的值；（Ⅲ）求数列{Sn}的通项公式．

2026年09月24日 08:19

有1个网友回答

网友（1）：

（Ⅰ）∵g（k）表示k的最大奇数因数，
∴g（6）=3，g（20）=5． …（2分）
（Ⅱ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2；S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22．…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m∈N^*，有g（2m）=g（m）． …（8分）
所以当n≥2时，Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n?1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=

(1+2n?1)×2n?1

+[g(1)+g(2)+…+g(2n?1)]=4^n-1+S_n-1…（11分）
于是Sn?Sn?1＝4n?1，n≥2，n∈N^*．
所以S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(1?4n?1)

1?4

+2＝

，n≥2，n∈N^*． …（13分）
又S₁=2，满足上式，
所以对n∈N^*，Sn＝

(4n+2)． …（14分）