y=5x^4+12x^2+2的图象如何求?

（1）y'=5x^4+12x^2+2
y''=20x^3+24x
（2）y'=3e^(3x-2)
y''=9e^(3x-2)
（4）y'=(cost-sint)e^(-t)
y''=-(cost-sint)e^(-t)+(-sint-cost)e^(-t)=-2cost*e^(-t)
（5）y^2=1-x^2
2yy'=-2x
yy'=-x
yy''+y'^2=-1
y''=(-1-y'^2)/y=(-1-x^2/y^2)/y=-1/√(1-x^2)-x^2/(1-x^2)^(3/2)
（7）y'=sec^2x
y''=2secx*(secxtanx)=2tanx*sec^2x
（8）y=1/（x^2+1）
y'=-2x/[（x^2+1）^2]
y''=[-2[(x^2+1)^2]+8x^2*(x^2+1)]/(x^2+1)^4

【求解答案】y=5x⁴+12x²+2的图像

【求解思路】

1、定义域，-∞＜x＜+∞

2、求零点值,令f(x)=5x⁴+12x²+2=0，求解该方程可知无实数解；令x=0,得f(x)=2

3、求极值点，对函数求一阶导数，并令f'(x)=0，再求其导函数方程，得到该函数的极值解，并判断函数上升和下降的区间

4、求拐点，对函数求二阶导数，并令f''(x)=0，再求其导函数方程，得到该函数的拐点解，并判断函数图形凹凸的区间

5、列表函数图形各种特性

6、最后绘出其函数图形

【求解过程】

【本题知识点】

1、依据函数的特征点作函数图形的步骤。

为了作出函数y= f(z)的图形。必须：

(1)确定此函数的存在域，并研究函数在其存在域之边界上各点之性质；

(2)查明图形的对称性和周期性；

(3)求出函数的不连续点及连续的区间；

(4)确定函数的零值点及同号区间；

(5)求出极值点及查明函数上升和下降的区间；

(6)确定拐点及函数图形凸凹的区间；

(7)若有渐近线存在则求出渐近线；

(8)指出函数图形的各种特性。

2、函数极值条件。

1）、一元函数的极值。如果函数f(x)在点x0的某一邻域内满足f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值。点(x0)称为极值点。

2）、极值的判定。可以根据第一充分条件和第二充分条件来判断。

第一充分条件：设y=f(x)在x0的某一邻域可导，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，如果y'在x0的两侧异号，则f(x0)为极值；如果y'在x0的两侧同号，则f(x0)非极值。

第二充分条件：设y=f'(x0)=0，f"(x0)存在，且f"(x0)≠0，如果f"(x0)>0，则f(x0)为极小值；如果f"(x0)<0，则f(x0)为极大值。

3、凹的充分条件。若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上(或之下)，则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹(或对应地，凸)的。在假设二阶导函数f"(x)存在的情况下，当a0[或对应地f"(x)<0] 成立，为图形是凹(或对应地，凸)的充分条件。

4、拐点的充分条件。若函数的图形在某点的凹凸性改变.则称此点为拐点。若在点xo或是f"(x)=0，或是f"(xo)不存在，且当x变动经过xo时，f"(x)变号，则xo便是拐点。

5、函数增大(或减小)的充分条件。若函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的，并且在其内有正的(或负的)导函数f'(x)，则函数f(x)[a,b]内增大(或对应地减小)。