对任意一个外部中的点A,由定义,存在一个 r >0 ,在A的 r -邻域内,没有E中点,那么 对此点的 r/4-邻域中的任意一个点B,B的r/4-邻域中都没有E中点.若否,设B的r/4-邻域中有E种点C,则
C到A的距离 < C到B的距离 + B到A的距离 < r/2,
即C在A的r-邻域内.矛盾.
所以B的领域内没有E的点,所以B是外部中的点.所以A的r/4的领域内全部是外部中点.由于A是外部中任意一点,知外部为开集.
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