在Rt△ABC中，∠C=90°，BM=AC,AN=MC，求证：∠BPM=45°

【证法1】

过点N作ND//AM，过M点作MD//AC交ND于D，连接BD。

则 ∠DMC=∠C=90°，∠BPM=∠BND

     四边形AMDN是平行四边形

∴AM=DN，MD=AN

   ∠BMD=90°

设BM=AC=a，AN=MC=b

则CN=AC-AN=a-b

    BC=BM+CM=a+b

根据勾股定理

DN^2=AM^2=AC^2+CM^2=a^2+b^2

BD^2=BM^2+DM^2=a^2+b^2

BN^2=BC^2+CN^2=(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)

∴DN=BD

∵DN^2+BD^2=BN^2

∴∠BDN=90°

∴△BDN是等腰直角三角形

∴∠BND=45°

则∠BPM=45°

【证法2】

过点M作DM⊥BC，使DM=CM，连接BD，DN。

∵BM=AC，∠BMD=∠ACM=90°，DM=CM

∴△BMD≌△ACM（SAS）

∴BD=AM，∠BDM=∠AMC

∵∠DMC=∠ACM=90°

∴DM//AN

∵DM=CM=AN

∴四边形AMDN是平行四边形

∴DN=AM=BD

  ∠MAN=∠MDN

   AM//DN

∵∠MAN+∠AMC=90°

∴∠MDN+∠BDM=90°

即∠BDN=90°

∴△BDN是等腰直角三角形

∴∠BND=45°

∵AM//DN

∴∠BPM=∠BND=45°