求证 Pn=(Sn⼀Sn✀)^(n⼀2)

已知数列an是一个各项为整数的等比数列，Sn为他的前n项和，Sn✀=1/a1+1/a2+……+1/an，Pn=a1a2……an。求证 Pn=(Sn/Sn✀)^(n/2)

2026年09月28日 02:53

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网友（1）：

由公式
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
Sn"即首项改为1/a1,公比改为1/q
则Sn'=(1/a1)*[1-(1/q)^n]/[1-(1/q)]
=(1/a1)*[(q^n)-1]/[q^n-q^(n-1)]
Pn=a1a2...an
=(a1^n)*q^[n(n-1)/2]
Sn/Sn'=a1^2(q-1)q^(n-1)/(q-1)
=a1^2q^(n-1)
∴(Sn/Sn')^(n/2)=a1^nq^[n(n-1)/2]=Pn
故原式成立