“三垂线定理”、“射影定理”的定义？

三垂线定理在
平面
内的一条
直线
，如果和穿过这个平面的一条
斜线
在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

用线面垂直证明　　已知：如图，po在α上的投影oa垂直于a　　求证：op⊥a　　证明：过p做pa垂直于α　　∵pa⊥α　　∴pa⊥a　　又a⊥oa　　oa∩pa=a　　∴a⊥平面poa　　∴a⊥op　　用向量证明
三垂线定理
　　1.已知：po，pa分别是平面α的垂线，斜线，oa是pa在α内的射影，b包含于α，且b垂直于oa，求证：b垂直于pa　　证明：∵po垂直于α，∴po垂直于b，又∵oa垂直b，向量pa=（向量po+向量oa）　　∴向量pa×b=（向量po+向量oa）×b=（向量po×b）+（向量oa×b
）=o，∴pa⊥b。　　2.已知三个平面oab，obc，oac相交于一点o，∠aob=∠boc=∠coa=60度，求交线oa与平面obc所成的角。　　解：∵向量oa=（向量ob+向量ab），o是内心，又∵ab=bc=ca，∴oa与平面obc所成的角是30°。

　所谓射影，就是正投影。直角三角形
射影定理
（又叫欧几里德(euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。　　公式:
如图，rt△abc中，∠abc=90°，bd是斜边ac上的高，则有
射影定理
如下：　　（1）(bd)^2=ad·dc，
（2）(ab)^2=ad·ac
，
（3）(bc)^2=cd·ca
。　　等积式
（4）ab×bc=ac×bd(可用“面积法”来证明）

直角三角形
射影定理
的证明
：
（主要是从三角形的相似比推算来的）　一、　　在△bad与△bcd中，∵∠bda=∠bdc=90°，且∠dbc+∠c=90°，　　∴∠abd=∠c，　　又∵∠bda=∠bdc=90°　　∴△bad∽△cbd　　∴
ad/bd=bd/cd　　即bd^2=ad
·
dc。其余同理可得可证　　
注：由上述
射影定理
还可以证明勾股定理。
　　有
射影定理
如下：　　ab^2=ad·ac，bc^2=cd·ca　　两式相加得：　　ab^2+bc^2=ad
·
ac+cd
·
ac
=（ad+cd)·ac=ac^2
.　　即ab^2+bc^2=ac^2（勾股定理结论）。　　二、　　已知:三角形中角a=90度,ad是高.　　用勾股证射影　　∵ad^2=ab^2-bd^2=ac^2-cd^2,　　∴2ad=ab+ac-bd-cd=bc-bd-cd=(bd+cd)-(bd+cd)=2bd×cd.　　故ad=bd×cd.　　运用此结论可得:ab=bd+ad=bd+bd×cd=bd×(bd+cd)
=bd×bc,
ac=cd+ad=cd+bd×cd=cd(bd+cd)=cd×cb.　　综上所述得到
射影定理
。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。任意三角形
射影定理
　　任意三角形
射影定理
又称“第一余弦定理”：　　△abc的三边是a、b、c，它们所对的角分别是a、b、c，则有　　a=b
·
cosc+c
·
cosb，　　b=c
·
cosa+a
·
cosc，　　c=a
·
cosb+b
·
cosa。　　注：以“a=b
·
cosc+c
·
cosb”为例，b、c在a上的射影分别为b
·
cosc、c
·
cosb，故名
射影定理
。　　证明1：设点a在直线bc上的射影为点d，则ab、ac在直线bc上的射影分别为bd、cd，且　　bd=c
·
cosb，cd=b
·
cosc，∴a=bd+cd=b
·
cosc+c
·
cosb
.
同理可证其余。　　
证明2：由正弦定理，可得：b=asinb/sina，c=asinc/sina=asin(a+b)/sina=a(sinacosb+cosasinb)/sina　　=acosb+(asinb/sina)cosa=a
·
cosb+b
·
cosa
.
同理可证其它的。