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解数学不等式

已知函数y=f(x)的定义域为【-1,1】且f(x)在【-1,1】上为增函数。又f(1)=1（1）解不等式f(x+1/2)≤f(1/x-1); (2) 若f(x)≤m²-2am+1对于所有x∈【-1,1】，a∈【-1,1】恒成立，求m的取值范围。

2026年09月25日 03:24

有2个网友回答

网友（1）：

第一个（1）有误，可能是f(（x+1）/2)≤f(1/x-1);
因为：
-1≤(x+1)/2≤1
-1≤1/x-1≤1
可得：1/2≤x≤1
如按原题只能到 x=1/2

解：
(1)解不等式f((x+1)/2)≤f(1/x-1);

因为函数y=f(x)的定义域为[-1,1]，所以有
-1≤(x+1)/2≤1
-1≤1/x-1≤1
得到：1/2≤x≤1

又因为f(x)在[-1,1]上为增函数
所以有：
（x+1)/2≤1/x-1
由上述可知 x>0，上式有：
x^2+x≤2-2x

解得 x≥(-3+√17)/2
综上所述 (-3+√17)/2≤x≤1

(2)由于f(x)≤m²-2am+1在[-1,1]上始终成立，且f(x)为增函数
所以有
m²-2am+1≥f(1)=1
m(m-2a)≥0

①当a在 [-1,0] 时
m≥0,或 m≤2a
②当a在 [0,1] 时
m≥2a,或 m≤0

网友（2）：

(1)由定义域为[-1,1]
可得-1≤x+1/2≤1和-1≤1/x-1≤1
分别解得-3/2≤x≤1/2和x≥1/2
故x=1/2
（2）至于第二题，等我再想一会