数学连续函数之问题

原题：f(x)∈C[0,2a],f(0)=f(2a)证明至少存在一点ξ∈[0,a]使f(ξ)=f(ξ+a)帮我解释下这个证明过程“令φ(x)=f(x+a)-f(x),则φ(x)∈C[0,a]”是为什么啊还有怎么证φ(0)φ(a)≤0啊

2026年09月23日 05:32

有2个网友回答

网友（1）：

令φ(x)=f(x+a)-f(x),则φ(x)∈C[0,a]
这个很简单啊，首先连续函数的和差积商（分母不为0）还是连续函数，那么在[0,a]上，f(x+a)是连续函数，f(x)也是连续函数，那么φ(x)当然也是连续函数了啊

证明φ(0)φ(a)≤0也简单。
φ(0)=f(a)-f(0)
φ(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)
它俩互为相反数，乘起来当然≤0啦

网友（2）：

令φ(x)=f(x+a)-f(x), 所以φ(x)的定义域是f(x+a)，f(x)两个定义域的交集,
f(x)∈C[0,2a],f(x+a)∈C[-a,a],所以φ(x)∈C[0,a]

由于f(0)=f(2a)

φ(0)φ(a)=(f(a)-f(0))(f(2a)-f(a))
=(f(a)-f(0))(f(0)-f(a))
=-(f(a)-f(0))^2
≤0

由于φ(x)也是连续函数，所以必然存在ξ∈[0,a]使φ(ξ)=0,
亦即f(ξ+a)-f(ξ)=0，从而命题得证