好吧问答库 > 一道高中数学不等式证明题.设a,b,c>0,求证1⼀(a+b)+1⼀(b+c)+1⼀(c+a)>=9⼀2(a+b+c)？

一道高中数学不等式证明题.设a,b,c>0,求证1⼀(a+b)+1⼀(b+c)+1⼀(c+a)>=9⼀2(a+b+c)？

2026年09月21日 14:37

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网友（1）：

由不等式公式知：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
又 2(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)][(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]
>=9
a,b,c>0
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c),2,证明：由柯西不等式可知[(a+b)+(b+c)+(c+a)]×[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)²=9.即2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥9.====>1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)≥9/[2(a+b+c)],1,