好吧问答库 > 已知x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=18,其中x,y,z为实数，求证：x,y,z均不为大于4的非负整数

已知x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=18,其中x,y,z为实数，求证：x,y,z均不为大于4的非负整数

2026年09月15日 18:49

有2个网友回答

网友（1）：

肯定用反正
应该这样，求证： x,y,z均为不大于4的非负实数

先正x,y,z均为大于4的非负实数
假设x,y,z至少有一个大于4，不妨设z>4
x+y=6-z
x^2+y^2=1/2(x^2+y^2)+1/2(x^2+y^2)≥1/2(x^2+y^2)+xy=(x+y)²/2
x^2+y^2+z^2≥(x+y)²/2+z¹=(6-z)²/2+z²=18+3z²/2-6z=18+3z/2(z-4)>18
与x^2+y^2+z^2=18矛盾
假设不成立
x,y,z均不为大于4的实数
再证x,y,z均为非负实数
假设x,y,z至少有一个小于0，不妨设z>0

同样x^2+y^2+z^2≥(x+y)²/2+z¹=(6-z)²/2+z²=18+3z²/2-6z=18+3z/2(3z-4)>18
假设不成立
x,y,z均不为小于4的实数
∴x,y,z均为不大于4的非负实数

网友（2）：

。。话说求证那句话的意思有点含糊用反证法试试吧设x,y,z中有个为大于4的非负整数那么这个数的平方就大于18了 x.y.z的平方和也肯定大于18了所以原证明成立。。。。。也不知道正确否。