假设是1/sinx的积分
∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,两倍角公式
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)], [注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C]
=ln|tan(x/2)|+C, (答案一)
进一步化简:
=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C
=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+C,凑出两倍角公式
=ln|sinx/(1+cosx)|+C
=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C
=ln|cscx-cotx|+C, (答案二)
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