好吧问答库 > 已知abc均为正实数,且a+b+c=1,求证（1⼀a -1)（1⼀b -1) (1⼀c -1）≥8

已知abc均为正实数,且a+b+c=1,求证（1⼀a -1)（1⼀b -1) (1⼀c -1）≥8

2026年09月28日 05:22

有1个网友回答

网友（1）：

证：已知a+b+c=1,a,b,c,属于正实数,
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8
∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8
祝学习快乐!