f(x)-f(a)⼀x-a的平方极限存在且为-1，为什么可以推出f(a)=0？

这个没有涉及f(x)的值啊，你说的应该是f'(a)=0吧，这个是求极值，按定理（具体几忘了），y=f(x)的极值点，导数为0，所以这个题是在证f(x)在点a是极大（小）值。
另外你题干也错了吧，应该是lim(x▷a)[f(x)-f(a)]/(x-a)^2=-1
既然极限存在，那么存在ξ使f(x)在区间[a-ξ,a+ξ]连续且可导
lim(x▷a)[f(x)-f(a)]/(x-a)^2=lim(x▷a) {[f(x)-f(a)]/(x-a)}/(x-a)=-1
当x趋向a时，lim(x▷a){[f(x)-f(a)]/(x-a)}就是f'(a),

lim(x▷a){[f(x)-f(a)]/(x-a)}/(x-a)=-1，极限存在
此时分母项(x-a)趋向0，所以分子项{[f(x)-f(a)]/(x-a)}必然要趋向0
因为极限是-1，为常数，所以分子项与分母项为同阶最小值

则f'(a)=O(x-a)=0 （如果条件极限为0，则f'(a)=o(x-a)，依然为0，所以只要极限存在，f'(a)就是0）

进一步可以因为(x-a)^2>0,得f(x)-f(a)<0
确定a点为f(x)在区间[a-ξ,a+ξ]的最大值

简单分析一下，详情如图所示

解答：
由于极限存在且为有限，分母极限为0，因此分子极限必为0，得：lim[x1] (ax^4+bx³+1)=0，则：a+b+1=0sin(πx)=sin(π-πx)，由于(π-πx)0，则sin(π-πx)等价于(π-πx)极限化为：lim[x1] (ax^4+bx³+1)/[(x-1)(π-πx)]=-(1/π)lim[x1] (ax^4+bx³+1)/(x-1)²极限为0/0型，洛必达法则=-(1/π)lim[x1] (4ax³+3bx²)/[2(x-1)]分母极限为0，则分子极限必为0，得：4a+3b=0由a+b+1=0，4a+3b=0联立解得：a=3，b=-4，代入极限得：原极限=-(1/π)lim[x1] (12x³-12x²)/[2(x-1)]=-(6/π)lim[x1] x²(x-1)/(x-1)=-6/π