好吧问答库 > 已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，S n+1 =4a n +1，设b n =a n+1 -2a n ．（Ⅰ）证明数列{b n }是

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，S n+1 =4a n +1，设b n =a n+1 -2a n ．（Ⅰ）证明数列{b n }是

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，S n+1 =4a n +1，设b n =a n+1 -2a n ．（Ⅰ）证明数列{b n }是等比数列；（Ⅱ）数列{c n }满足c n = 1 log 2 b n +3 （n∈N + ），设T n =c 1 c 2 +c 2 c 3 +c 3 c 4 +…+c n c n+1 ，若对一切n∈N + 不等式4mT n ＞（n+2）c n 恒成立，求实数m的取值范围．

2026年09月29日 05:30

有1个网友回答

网友（1）：

证明：（Ⅰ）由于S_n+1 =4a_n +1，①
当n≥2时，S_n =4a_n-1 +1．②
①-②得a_n+1 =4a_n -4a_n-1 ．
所a_n+1 -2a_n =2（a_n -2a_n-1 ）．
又b_n =a_n+1 -2a_n ，
所以b_n =2b_n-1 ．
因为a₁ =1，且a₁ +a₂ =4a₁ +1，
所以a₂ =3a₁ +1=4．
所以b₁ =a₂ -2a₁ =2．
故数列{b_n }是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n =2ⁿ ，则c_n =

log 2 b n +3

n+3

∴T_n =c₁ c₂ +c₂ c₃ +c₃ c₄ +…+c_n c_n+1
=

4×5

5×6

6×7

+…+

(n+3)(n+4)

n+4

4(n+4)

．
由4mT_n ＞（n+2），得

n+4

＞

n+2

n+3

．
即m＞

(n+4)(n+2)

n(n+3)

．
所以m＞

n 2 +6n+8

n 2 +3n

．
所以m＞1+

3n+8

n 2 +3n

=1+

n+3

n 2 +3n

．
设f（x）=1+

x+3

x 2 +3x

，x≥1．
可知f（x）在[1，+∞）为减函数，又f（1）=

，
则当n∈N时，有f（n）≤f（1）．
所以∴m＞

．
故当m＞

．时，4mT_n ＞（n+2）c_n 恒成立．