求半球体x^2+y^2+z^2＜=9的体积。二重积分

半球体x^2+y^2+z^2＜=9的体积为18π。

解：因为球面方程为x^2+y^2+z^2=9，要求半球体，那么令z＞0，

则半球面方程为z=√(9-x^2-y^2)，半球面曲线在xoy平面的投影为x^2+y^2≤9。

则可得0≤x≤3，0≤x≤3。

那么半球面体积V=∫∫Dzdσ

=∫∫√(9-x^2-y^2)dσ

=∫(0,2π)dθ∫(0,3)√(9-r^2)*rdr

=2π*(-1/3*(9-r^2)^3/2)(0,3)

=18π

即半球面的体积为18π。

扩展资料：

三重积分的计算方法

1、直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。

（1）先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

（2）先二后一法（截面法），先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

2、柱面坐标法

适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设

x^2+y^2=a^2，x=asinθ，y=bsinθ。

区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合。

函数条件：f（x,y,z）为含有与x^2+y^2相关的项。

3、球面坐标系法

适用于被积区域Ω包含球的一部分。

区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥 面也可以；

函数条件：f（x,y,z）含有与x^2+y^2+z^2相关的项。

参考资料来源：百度百科-三重积分

设上半球体，即z≥0

参考上图