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z=x^2+y^2与x=0,y=0,z=0,x+y=1围城的图形

三重积分计算计算由z=x^2+y^2和x+y=1,和坐标面所围城的立体体积. 请高人给出具体运算步骤是平面x+y=1和旋转抛物面z=x^2+y^2和坐标轴所围城的立体体积

2026年09月20日 13:28

有2个网友回答

网友（1）：

简单计算一下即可，答案如图所示

网友（2）：

这道题只需一重或二重积分
考虑z=z的一个截面:
x>0,y>0
x+y=1
x^2+y^2=z
就是一个等腰直角三角形的直角顶点被挖去一个1/4圆.
圆不与斜边相交时 dS=(1/2-z/4)dz
圆与斜边相交时可以用一重积分计算面积微元,也可以用代数法计算多出的弓形面积,在第一种情况的微元dS中加上.
S弓形=-0.5*√(z-0.25)+z*ArcCos[1/(2√z)]
然后是分段积分
圆不与斜边相交时 V1=∫(z=0~0.25) (1/2-z/4)dz = 15/128
圆与斜边相交时 V2=∫(z=0.25~1) (1/2-z/4-0.5*√(z-0.25)+z*ArcCos[1/(2√z)])dz = 33/128 - 3√3 /16 + π/6
计算z*ArcCos[1/(2√z)] 时先分部积分,再把根号内的多项式换元.
计算步骤较多,不便一一列出.