好吧问答库 > 如图，在三棱锥P-ABC中，角APB=90度，角PAB=60度，AB=BC=CA，点P在平面ABC内

如图，在三棱锥P-ABC中，角APB=90度，角PAB=60度，AB=BC=CA，点P在平面ABC内

的射影O在AB上。(1)求直线PC与平面内ABC所成角的正切值;(2)求二面角B-AP-C的正切值。

2026年09月18日 05:10

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(1)∵
PO⊥面ABC，角APB=90度，角PAB=60度
∴
PO=根号(3)/4*AB
∵
AB=BC=CA
∴
CO=根号[(1/4)^2+(根号(3)/2)^2]*AB
=根号(13)/4*AB
∴直线PC与平面内ABC所成角的正切值=PO/CO=根号(3/13)
(2)设AP的中点为M，AB的中点为N，连接CM、CN、MN
则:MN//PB
∴
MN⊥AP
AM=AP/2=1/4*AB
过M做MQ⊥AB，交AB于Q
则:MQ⊥CQ
MQ=1/2*PO=1/2*根号(3)/4*AB=根号(3)/8*AB
CQ=根号[(3//8)^2+((根号(3)/2)^2]*AB
=根号(57)/8*AB
∴
CM=根号(MQ^2+CQ^2)=根号(15)/4*AB
∵AM^2+CM^2=AC^2
∴CM⊥AP
∴二面角B-AP-C的正切值即∠CMN的正切值
∵MN=1/2*PB=根号(3)/4*AB
CN=根号(3)/2*AB
即:CN⊥MN
∴二面角B-AP-C的正切值=CN/MN
=[根号(3)/2*AB]
/
[根号(3)/4*AB]
=2