什么是聚点？

聚点是拓扑空间的基本概念之一。

设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor,G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。

拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

扩展资料：

空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。

满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间；

全正则空间和正规空间，各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。

参考资料：百度百科---聚点

x是A的聚点=x的每个邻域都包含A中 除x之外的点/不等于x的点
"other than x itself"="除x之外"

取A为实数轴上的所有整数，则A没有聚点：例如x=0有邻域(-1/2,1/2)和A的交点只有x自己。

取A为所有实数，则A上的每个点都是聚点。事实上对实数轴上的任意开/闭/半开半闭区间，其中的每个点都是聚点，开区间边界上的点也是聚点（虽然不属于开区间）

“如果实数上的每个点都是聚点，那么实数的内部就是空集”不对啊。集合的内部不能直接由聚点得到。按定义，x在A的内部中=存在x的邻域是A的子集。实数集的内部为实数集：因为每个实数都有邻域是实数集的子集（事实上任意邻域都是）。有理数集的内部为空集：因为任意实数的任意邻域都不是有理数集的子集（实数轴上的任意开区间中一定有有理数也有无理数）

（昨天说“A的内部=A的聚点和A的交”，这是错的，抱歉）