好吧问答库 > 已知连续函数f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t⼀3)dt+e^2x,求f(x)。

已知连续函数f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t⼀3)dt+e^2x,求f(x)。

2026年09月26日 15:10

有2个网友回答

网友（1）：

简单计算一下即可，答案如图所示

网友（2）：

根据莱布尼兹积分法则（含参积分求导公式）知，
d/dx
∫{0,3x}
f(t/3)dt
=
f(3x/3)
d(3x)/dx
-
f(0/3)
d0
/dx
+
∫{0,3x}
df(t/3)/dx
dt
=
3f(x)。
故对原等式两边同时对x求导可得
3f(x)
+
2e^(2x)
=
f'(x)。
令y
=
f(x)，有
y'
-
3y
=
2e^(2x)。
这是一个一阶线性非齐次常微分方程，可用公式求解，其通解为
y
=
e^(-
∫
(-3)
dx)
[
∫
[2e^(2x)
e^(∫(-3)dx)]
dx
+
c]
=
e^(3x)
[
∫
[2e^(2x)
e^(-3x)]
dx
+
c]
=
e^(3x)
[
∫
2e^(-x)
dx
+
c]
=
e^(3x)
[
-
2e^(-x)
dx
+
c]
=
-2e^(2x)+
ce^(3x)
，
其中c为任意常数。