直线与圆、椭圆

1:已知点（x，y）到原点的距离是2，
所以该点轨迹是个圆,半径为2
设x=2sinA,y=2cosA
x^2+xy-2=4sinA*sinA+2sinA*2cosA-2=2-2cos2A+2sin2A-2
=-2cos2A+2sin2A=2根号2sin(2A+*)
-2根号2<= 2根号2sin(2A+*) <=2根号2 .

2 直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,
所以 2mx+my+x+y=7m+4
所以2mx+my=7m
x+y=4,
得到x=3,y=1,所以点A(3,1)始终是直线l上的点．
圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25的圆心O为(1,2),半径为5.
AO的长度可得为(根号5)<5,所以点A在圆C内部，
而直线l始终过点A,所以直线l到圆心O的距离d<=AO的长度<5，
所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点．

设直线l交圆C于点D和E.被圆截得的线段为DE,DE=DA+AE
圆C的圆心为O,设直线AO交圆C于点F和G.
A在圆C内，由相交弦定理DA*AE=FA*AG
点A(3,1)，O(1,2)所以OA=根号5，FA=5+根号5，AG=5-根号5,
DA*AE=FA*AG=20
由基本不等式DA+AE>=2根号(DA*AE)==4根号5.
当且仅当DA=AE时，等号成立。
DA=AE=2根号5时，被圆截得的线段最短。
OA=根号5,OE=OD=5，勾股定理可得DE垂直于AO。
即当直线l垂直于AO时,被圆截得的线段最短。
所以Kl*KAO=-1
Kl=-(2m+1)/(m+1),KAO=(1-2)/(3-1)=-1/2
所以m=-3/4

1 连接A(1,2),B(2,3)的直线方程为y=x+1,
若椭圆2x^2+y^2=a^2(a>0)与连接A(1,2),B(2,3)的线段没有公共点，
则2x^2+(x+1)^2=a^2(a>0)的判别式<0
所以判别式=4-4*3*(1-a^2)<0
3a^2-2<0,-根号6/3因为a>0
则a的取值范围为(0,根号6/3).

2 已知椭圆C：3x^2+4y^2=12,直线l：y=4x+m,
设点E(Xe,Ye)和点F(Xf,Yf)是椭圆C上不同的两点,并关于直线l对称。
设点EF所在直线为l1,
所以l1与l垂直,Kl1*Kl=-1,所以Kl1=-1/4.
设直线l1方程为y=Kl1x+b=-1/4x+b,
点E(Xe,Ye)和点F(Xf,Yf)是椭圆C上不同的两点,并在直线l1上.
所以Xe,Ye和Xf,Yf是联立方程
3x^2+4y^2=12,
y=-1/4x+b, 两个不同的解.
代入y,整理得13/4x^2-2xb+4b^2-12=0.
判别式>0.所以得b^2<13/4.
点E(Xe,Ye)和点F(Xf,Yf),并关于直线l对称。
所以((Xe+Xf)/2,(Ye+Yf)/2)在直线l上.
Xe和Xf是方程13/4x^2-2xb+4b^2-12=0不同的两个解,
所以Xe+Xf=-b/a=8b/13,(Xe+Xf)/2=4b/13
点E,F在直线l1上,所以Ye=-1/4Xe+b,Yf=-1/4Xf+b,
(Ye+Yf)/2=24b/13
由((Xe+Xf)/2,(Ye+Yf)/2)在直线l上,
所以(Ye+Yf)/2=4(Xe+Xf)/2+m,
所以b=13m/4
b^2<13/4, 所以m^2<4/13.
所以 -2根号13/13
累......