请问线性微分方程,这道题讲的这个性质是什么,看不懂,求大佬解答

解:设微分方程为y"+by'+cy=f(x)，

则有y1"+by1'+cy1=f(x)，

y2"+by2'+cy2=f(x)，y3"+by3'+cy3=f(x)

∴(y1-y3)"+b(y1-y3)'+c(y1-y3)=0，

(y2-y3)"+b(y2-y3)'+c(y2-y3)=0

∴y1-y3与y2-y3为方程y"+by'+cy=0的

解，且为方程y"+by'+cy=f(x)的特征根

∴y3为方程y"+by'+cy=f(x)的特解

∴方程的通解为y=pe^3x+qe^x-xe^2x

(p、q为任意常数)

1.这道线微分方程求解，用的两个性质见上图。

2.对于线微分方程解的结构性质，在高数教材中有。两个性质：一个是线性非齐次方程的两个解的差，是对应的齐次方程的解。

另一个性质是，非齐次方程的通解等于，齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。

具体这道线微分方程求解时用的详细的性质及说明见上图。

简单分析一下，详情如图所示

y1=e^(3x)-xe^(2x) , y2=e^x -xe^(2x) , y3= -xe^(-2x)
3 个解共有的是 -xe^(2x)， 明显得知 -xe^(-2x) 是 非齐次方程的解
余下 的 e^(3x) , e^x 就是齐次方程的解
所以通解
y=Ae^(3x)+Be^x -xe^(2x) 就是通解