好吧问答库 > 设曲线y=ax^2(x>=0,常数a>0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点O和点A的直线

设曲线y=ax^2(x>=0,常数a>0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点O和点A的直线

设曲线y=ax^2(a>0,x>=0)与曲线y=1-x^2交于点A，过坐标原点o和A的直线与y=ax^2围成一平面，问:（1）该平面绕X轴旋转一周所称的旋转体的体积V（2）a为何值时，V最大最好写在纸上发图

2026年09月25日 14:36

有2个网友回答

网友（1）：

简单计算一下即可，答案如图所示

网友（2）：

先求A点坐标，联立两个方程解得A点坐标为（1/√（a+1），a/（a+1））。积分区域为[0，1/√（a+1）]。直线OA的方程为y=ax/√（a+1），线段OA、x轴和直线x=1/√（a+1）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体（就是一个圆锥）的体积为V1=1/3*π*a²/√（（a+1）²√（a+1））。y=ax²、x轴和直线x=1/√（a+1）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2=∫（0，1/√（a+1））πy²dx=π∫（0，1/√（a+1））a²x^4dx=1/5*πa²/（（a+1）²√（a+1）），V1-V2即为所求旋转体体积。故V=V1-V2=2/15*πa²/（（a+1）²√（a+1）），对V求导的V‘=πa（a+1）^(-7/2)（4/15-a/15），令V’=0，解得a=4。所以当a=4时，V有最大值，最大值为32π/（375√5）。