好吧问答库 > 已知函数f（x）=x2-2ax-3a2．（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的最小值；

已知函数f（x）=x2-2ax-3a2．（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的最小值；

已知函数f（x）=x2-2ax-3a2．（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的最小值；（3）是否存在实数a，对于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

2026年09月22日 00:52

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网友（1）：

（1）∵a=1，∴函数f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
∴函数的值域为[-4，+∞）．
（2）函数f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，对称轴为x=a．
当a＜1时，在区间[1，4]上函数单调递增，∴函数f（x）最小值为f（1）=1-2a-3a²；
当1≤a≤4时，函数f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，4]上单调递增，∴函数f（x）最小值为f（a）=-4a²；
当a＞4时，在区间[1，4]上函数单调递减，∴函数f（x）最小值为f（4）=16-8a-3a²；
（3）对于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立，等价于对于任意x∈[1，4]，f（x）_min≥-4a恒成立
由（2）知，

a＜1

1?2a?3a2≥?4a

或

1≤a≤4

?4a2≥?4a

或

a＞4

16?8a?3a2≥?4a

∴?

≤a＜1或a=1
∴?

≤a≤1．