欧拉线的应用

2026年09月24日 13:52

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网友（1）：

1 ：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明：设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。
因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。
这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是
z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。
取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。
2：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
3：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明：第2，3个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。