x.y.z都是正数，求(xy+yz)⼀(x눀+y눀+z눀)的最大直

(xy+yz)/(x²+y²+z²)
是齐次式，也就是说如下换元不会改变式子的值。
x=ka
y=kb
z=kc
(xy+yz)/(x²+y²+z²)
=(ab+bc)/(a²+b²+c²)
所以不妨设k=1/b
那么y=1
f(x,z)=(x+z)/(x²+z²+1)
=(2x+2z)/(2x²+2z²+2)
<=(2x+2z)/(x²+z²+2xz+2)
=2(x+z)/[(x+z)²+2]
令x+z=t
f(t)=2t/(t²+2)
=2/(t+2/t)
t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2
f(t)<=2/(2√2)=√2/2
所以最大值是√2/2

x^2+y^2/2>=2{根号(1/2)}xy>0
y^2/2+z^2>=2{根号(1/2)}yz>0
所以x^2+y^2+z^2>={根号（2）}(xy+yz)
所以{xy+yz}/{x^2+y^2+z^2}<=根号(1/2);

令a=(xy+yz)/(x2+
y2
+
z2
)
由
均值不等式
有[(x+y)/2]2<=(x2+z2)/2
所以a<=√[2(x2+z2)*y/[(x2+z2)+y2)<=√2y√(x2+z2)/[2y√(x2+z2)]=√2/2
当且仅当x=z=√2y/2时取等号
所以最大值是√2/2