分段函数求导

f'(-x)=f’(+x) 可以说明函数在f(x)可导，-----对！

那么如果有这样一个分段函数
f(x)=x+1 x<=0
=x-1 x>0

"也满足f'(-x)=f’(+x)"---- f'(-0)=1， f’(+0)=1， f'(0)=负无穷

"按照这个定理来说，这个函数在x=0处应该可导，但是这个函数明显都不连续怎么可能可导？"
------不连续，也不可导。 导数为负无穷。

不要本末倒置了。论及导数，必须先确定一个基点a，然后考查自变量与函数在这点附近的变化。在许多问题中，一定范围内的每一点都可以当作基点来考虑，所以为了方便，才直接用记号x表示基点a。你翻下课本仔细看看，基本初等函数的求导和求导公式哪个不是定了一个基点来讨论的，只不过那个基点用x来表示罢了。如果函数在一个开区间的任一点x都可导，此时f'(x)就是一个确定的值。这样就得到一个定义在这区间上的函数，称为是f的导函数。换句话说，导函数在x点的函数值必等于原来的函数在x点的导数值。说了这么多，就你那个题而言，之所以在x=0处要用定义计算，是因为根本就没有现成的公式可用，而不是什么导函数连不连续!先有的导数才有的导函数，一般来说，这种有分界点的函数，该点的导数我们只有用定义先算出，再把其它点的导数算出，才得到一个导函数。这道题你可以验证出它的导函数在x=0处是不连续的。但我们在没有用定义得到这个点的导数时，导函数在这点上根本就还没有(或者说根据你现有的知识无法)定义，又何谈连续性呢?谁因谁果请楼主细心体会。不过等你以后学习了导数极限定理，那么只要f在x=0处连续，再求出在除去点x=0的导函数，如果这个导函数当x趋于0时的极限存在，那么这个极限值就等于f'(0)，进而导函数在x=0连续。

f'-(x)和f’+（x)是用 极限法则 来求的，而不是先将原函数求导再代入x值求的 ，按极限法则求出的结果是 f'-(x)=1，f’+（x)=负无穷，二者并不相等

分段函数求导，分段求导，在断点处，若两边的导数相等，则分段导数可以连接起来。

由可导的定义可以推出连续，你自己想想吧。