拉格朗日（Lagrange）余项：
，其中θ∈（0,1）。
拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确。
证明：
根据柯西中值定理：
其中θ1在x和x0之间；继续使用柯西中值定理得到：
其中θ2在θ1和x0之间；连续使用n+1次后得到：
其中θ在x和x0之间；同时：
进而：
综上可得：
扩展资料
泰勒公式的不同余项表达形式有：
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
参考资料百度百科-泰勒公式
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