你的想法有道理，实际上，历史上，数学家就曾经用这种方法，而不管级数是否收敛。开始时数学家没有认识到收敛的重要。后来才认识到，级数只有在收敛时，才会等于一个函数。
就是先要收敛，才会有S(x)=x²arctan（x）+x，不收敛，是没有这个关系的。因为一个函数，除了个别点总是有值的（收敛）的，比如S(1)=1+arctan1;S(-1)=-1+arctan(-1);如果此时，级数不收敛，S(1),S(-1)就可能是无穷大，当然不可能与函数相等。
x=1，或者x=-1，等等，代入级数，一般会得到一个数列无穷项的和，就是判断数列前n项和，当n趋近于∞时，是否收敛的问题。一般用级数收敛的审敛法来判断。
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