利用二重积分求平面区域面积：D=(r,θ)│2≤r≤4sinθ

做变量代换，x=rcosθ，y=rsinθ，则D转换为Dxy={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，I=∫∫Dr2sinθ1−r2cos2θdrdθ=∬Dxyy1−x2+y2 dxdy=∫10dx ∫x01−x2+y2d(1−x2+y2)=∫10 13(1−x2+y2)32|x0dx=13。

所求面积s=∫<π/6,5π/6>dθ∫<2,4sinθ>dr =∫<π/6,5π/6>(4sinθ-2)dθ =（-4cosθ-2θ）|<π/6,5π/6> =4√3-4π/3。

二重积分下，被积函数为常数1，积分区域取xoy面上圆心为（0，0）且半径为R的圆。所求得的二重积分便是球体的表面积。（积分符号前乘以2是因为球面曲线Z有正负之分，所以要上半球面和下半球面分开积分。）

扩展资料：

注意事项：

1、对积分区域的进一步说明：既是X型又是Y型的积分区域。

2、确定积分次序与上下限的一个例子（注意判断过程中并没有明确用到积分区域D的类型）。

3、熟记二重积分的性质，在运算中占有重要作用，特别是在繁琐的工科计算中，性质决定成败。

4、区分此图像是X型还是Y型，X型平行于Y轴，Y型平行于X轴。

参考资料来源：百度百科-二重积分