等价无穷小的导函数在这一点上的值相等？

假设f(x)和g(x)在x0处趋近于无穷小，且是等价无穷小，即 lim f(x)/g(x)=1 (注：此处的极限均指x趋近于x0时的极限) ，由极限的定义可以知道对于任意的ε>0存在 x0的邻域δ，使得当|x-x0|<δ时恒有 |f(x)/g(x)-1|<ε ,亦即 1-ε0 和g(x)>0同时成立 。于是 1-ε

假设f(x)和g(x)在x0处趋近于无穷小，且是等价无穷小，即
lim
f(x)/g(x)=1
(注:此处的极限均指x趋近于x0时的极限)
，由极限的定义可以知道对于任意的ε>0存在
x0的邻域δ，使得当|x-x0|<δ时恒有
|f(x)/g(x)-1|<ε
,亦即
1-ε。另外根据极限的局部保号性，我们不妨假设在x0
的某个邻域内
f(x)>0
和g(x)>0同时成立
。于是
1-ε可以化为
(1-ε)g(x)。先求函数的右导数:f'(x0+)=lim[f(x)-f(x0)]/[x-x0]=limf(x)/[x-x0]
,g'(x0+)=lim[g(x)-g(x0)]/[x-x0]=limg(x)/[x-x0]
。又(1-ε)g(x)因此
(1-ε)g'(x0+),此处ε可以取任意小的正数，显然可得
f'(x0+)=g'(x0+)
。同理对左极限有
f'(x0-)=g'(x0-)
，因此有f'(x0)=g'(x0)
。结论很明显了吧。不过该结论反过来不一定成立。两个函数在某个点处的导数相同，仅仅只能说这两个函数在改点的切线平行，不能说明这两个函数在该点为等价无穷小。