好吧问答库 > 一个定积分的极限 lim∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1⼀2)dx 极限n→无穷

一个定积分的极限 lim∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1⼀2)dx 极限n→无穷

2026年09月21日 23:33

有1个网友回答

网友（1）：

由积分中值定理：
∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx
存在ξ∈（0,1）,使得
∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx =ξ^n(1+ξ^2)^(1/2)
则lim∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx =limξ^n(1+ξ^2)^(1/2),
因为ξ∈（0,1）.当n→无穷 .则ξ^n→0
则limξ^n(1+ξ^2)^(1/2)=0,
所以lim∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx =0