好吧问答库 > 第一型曲线积分问题：∮C(2x^2 3y^2)ds，其中C是曲线x^2 y^2=2(x y)？

第一型曲线积分问题：∮C(2x^2 3y^2)ds，其中C是曲线x^2 y^2=2(x y)？

∮C(2x^2+3y^2)ds，其中C是曲线x^2+y^2=2(x+y)？...

2026年09月23日 01:39

有2个网友回答

网友（1）：

C可以化简为：(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
令 x-1 = rcost; y-1 = rsint, 则有：r = √2
∮C(2x^2+3y^2)ds = ∮[0, 2pi] [2(1+rcost)^2 + 3(1+rsint))^2] r dt
= ∮[0, 2pi] [2(1+2rcost+r^2cos^2t) + 3(1+2rsint+r^2sin^2t)] r dt
= ∮[0, 2pi] (5r + 4r + r) dt (这里用到了sint, cost 在周期内积分为零简化）
= 20√2 pi

网友（2）：

先给定一点设其坐标为x，则此点关于直线x=a的对称点的坐标为2a-x。

若存在f(x)=-f(2a-x)，则∮cf(x)ds=0，其中曲线c关于x=a对称

故∮c（x-1）ds=∮c（y-1）ds=0，c既关于x=1对称又关于y=1对称