什么叫级数

将数列 的项 ， ，…， ，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如: ，简写为 ， 称为级数的通项，记 称之为级数的部分和。如果当 时 ，数列有极限，则说级数收敛，并以 为其和，记为 ；否则就说级数发散。
级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。
详细
柯西准则
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
详细解析
如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收敛，因为
Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2²+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。
有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数，称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立，并且当n→∞时lim un=0，则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有 ∑un收敛，但是∑|un|发散，则称变号级数条件收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛。
如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。
一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
还有一类非常常用的级数是傅里叶级数。
理论介绍
级数理论
在微积分学中基本变量是一般的连续变量 x（代表具体的变量如时间t、路程s，质量m等等）,取值于这个或那个区间，极限过程也是多种多样的；在级数理论中基本变量就是离散变量n，其值为全体自然数:n=1,2,3,…。这里极限过程只有唯一的一个,即n无限增长，趋向无限:n→∞。这里任一函数u(n)的值u(n)=un自然形成一个序列u1,u2,u3,…,un,…;而这个序列{un}也就完全表达了函数u(n)。
一个级数（无穷级数）是由一个序列{un}经过“逐一加下去”的无限过程而产生的和数序列：
简记为u1+u2+…+un+…。通常称un为这级数的一般项，sm为其部分和，并常用缩写记号
在m无限增长的过程中，如果部分和sm趋向于一个极限s，那么就称s为级数的“和”,并写成级数。这实际上就是
如果部分和sm的极限s作为一个有限数而存在,就说级数是收敛的并以s为其和数。否则，就说这级数是发散的，没有和数。
所以，按照习惯了的极限观点，一个级数在且只在它收敛时才像一个有限和一样具有一个唯一确定的和数。级数的和数与代数中的和数的区别只在于被加项的个数是无限的。这是级数概念发展的基本出发点。
最早出现在古代的级数是几何级数(等比级数)级数，它有部分和
因而当且仅当|r|<1时收敛。
一个一般的级数，其部分和不一定具有这样简单的结构，这时首先需要直接从级数的项判断级数的和是否存在,即级数是否收敛。然后就需要考虑这级数的和,作为无限项的和，继承了或保存着有限和的哪些性质，或者有限和的某个性质在什么条件下能够传递给级数的和。这两个问题，收敛问题与性质问题，便是级数理论的基本问题